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3056 「HNOI2019」多边形

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题目描述

小 R 与小 W 在玩游戏。 他们有一个边数为 $n$ 的凸多边形，其顶点沿逆时针方向标号依次为 $1,2,3, \ldots , n$。最开始凸多边形中有 $n$ 条线段，即多边形的 $n$ 条边。这里我们用一个有序数对 $(a, b)$（其中 $a < b$）来表示一条端点分别为顶点 $a, b$ 的线段。 在游戏开始之前，小 W 会进行一些操作。每次操作时，他会选中多边形的两个互异顶点，给它们之间连一条线段，并且所连的线段不会与已存的线段重合、相交（**只拥有一个公共端点不算作相交**）。他会不断重复这个过程，直到**无法继续连线**，这样得到了状态 $S_0$。$S_0$ 包含的线段为凸多边形的边与小 W 连上的线段，容易发现这些线段将多边形划分为一个个三角形区域。对于其中任意一个三角形，其三个顶点为 $i,j,k(i < j < k)$，我们可以给这个三角形一个**标号** $j$，这样一来每个三角形都被标上了 $2,3, \ldots , n − 1$ 中的一个，且没有标号相同的两个三角形。 小 W 定义了一种「旋转」操作：对于当前状态，选定 $4$ 个顶点 $a,b,c,d$，使其满足 $1 ≤ a < b < c

输入格式

第一行一个整数 $W$，表示小 W 的心情。若 $W$ 为 $0$ 则只需求出最少的「旋转」次数，若 $W$ 为 $1$ 则还需求出「旋转」次数最少时的不同操作方案数。

第二行一个正整数 $n$，表示凸多边形的边数。

接下来 $n - 3$ 行，每行两个正整数 $x, y$，表示小 W 在 $S_0$ 中连的一条线段，端点分别为 $x, y$。保证该线段不与已存的线段重合或相交。

接下来一行一个整数 $m$，表示小 W 以 $S_0$ 为基础产生的新状态个数。

接下来 $m$ 行，每行两个整数。假设其中第 $i$ 行为 $a, b$，表示对 $S_0$ 进行 $(a, b)$「旋转」后得到 $S_i$。

输出格式

输出共 $m + 1$ 行。

若 $W$ 为 $0$ 则每一行输出一个整数，第 $i(i = 1,2, \ldots , m, m + 1)$ 行输出的整数表示 $S_{i−1}$ 作为初始局面的最少「旋转」次数。

若 $W$ 为 $1$ 则每一行输出两个整数，第 $i(i = 1,2, \ldots , m, m + 1)$ 行输出的两个整数依次表示 $S_{i−1}$ 作为初始局面的最少「旋转」次数、「旋转」次数最少的不同操作方案数对 $10^9+7$ 取模的结果。

样例 1

以 $S_0$ 为初始状态，最少「旋转」次数为 $3$，有 $2$ 种方案，如下：

poly1.png

以 $S_1$ 为初始状态，最少「旋转」次数为 $3$，有 $1$ 种方案，如下：

poly2.png

样例 2

数据范围与提示

测试点编号 $W$ $n$ $m$ 测试点编号 $W$ $n$ $m$
$1$ $1$ $=\text{id}+8$，其中 $\text{id}$ 是测试点编号 $=0$ $11$ $0$ $\le 10^4$ $\le 10^5$
$2$ $1$ $=\text{id}+8$，其中 $\text{id}$ 是测试点编号 $=0$ $12$ $0$ $\le 10^4$ $\le 10^5$
$3$ $1$ $=\text{id}+8$，其中 $\text{id}$ 是测试点编号 $\le n$ $13$ $1$ $\le 10^4$ $\le 10^3$
$4$ $1$ $=\text{id}+8$，其中 $\text{id}$ 是测试点编号 $\le n$ $14$ $1$ $\le 10^4$ $\le 10^3$
$5$ $1$ $=\text{id}+8$，其中 $\text{id}$ 是测试点编号 $\le n$ $15$ $1$ $\le 10^5$ $=0$
$6$ $1$ $=\text{id}+8$，其中 $\text{id}$ 是测试点编号 $\le n$ $16$ $1$ $\le 10^5$ $\le 10^5$
$7$ $1$ $\le 100$ $\le n$ $17$ $1$ $\le 10^5$ $\le 10^5$
$8$ $1$ $\le 100$ $\le n$ $18$ $1$ $\le 10^5$ $\le 10^5$
$9$ $1$ $\le 100$ $=0$ $19$ $1$ $\le 10^5$ $\le 10^5$
$10$ $1$ $\le 100$ $=0$ $20$ $1$ $\le 10^5$ $\le 10^5$

对于所有输入数据，保证：$3\le n\le 10^5,0\le m\le 10^5$。

样例

样例输入 1

1
6
1 3
1 5
3 5
1
1 3

样例输出 1

3 2
3 1

样例输入 2

1
12
1 10
1 6
1 3
3 6
3 5
6 10
6 8
8 10
10 12
4
1 10
1 3
6 8
1 6

样例输出 2

8 210
7 210
8 70
8 105
8 140