2802 「CCC 2018」平衡树

题目译自 CCC 2018 S4. Balanced Trees

我们定义「完美平衡树」如下：

每棵完美平衡树都有一个正整数权值。权值为 $1$ 的完美平衡树为只含有 $1$ 个节点的树。否则，这棵树的权值为 $w(w\ge2)$，则这棵树为一棵含有 $k(2\le k\le w)$ 棵子树的有根树。所有的 $k$ 棵子树都必须是相同的，且它的所有 $k$ 棵子树必须完全相同，且自身是完美平衡的。

特别地，所有 $k$ 棵子树权值必须相同。它们的权值必须为 $\left\lfloor\frac{w}{k}\right\rfloor$ 。例如，如果一棵权值为 $8$ 的完美平衡树有 $3$ 棵子树，那么每棵子树的权值为 $2$，因为 $2+2+2=6\le8$。

给定 $N$，求出权值为 $N$ 的完美平衡树的数量。

输入包含一行一个整数 $N$。

输出一个整数表示权值为 $N$ 的完美平衡树的数量。

合法的树如下：

• 一棵以有 $4$ 棵权值为 $1$ 的子树为根的完美平衡树；
• 一棵以有 $2$ 棵权值为 $2$ 的子树为根的完美平衡树；
• 一棵以有 $3$ 棵权值为 $1$ 的子树为根的完美平衡树。

对于 $33\%$ 的数据，$N\le1000$；
对于另外 $13\%$ 的数据，$N\le5\times 10^4$；
对于另外 $13\%$ 的数据，$N\le10^6$；
对于全部的数据，$1\le N\le10^9$。